V = ∭_R 1 dV = ∭_R div F(x,y,z) dV
根据散度定理，这等于曲面积分：
V = ∬_S F(x,y,z) · dS
这个曲面积分定义在三维网格的表面 S 上，等于其逐三角形部分之和。令 T_i 表示网格中第 i 个三角形的表面。那么，
V = ∑i ∬{T_i} F(x,y,z) · dS
令 T_{in} 表示第 i 个三角形的第 n 个顶点。设 Δ_1 等于 T_{i1} 与 T_{i0} 之间的向量差，Δ_2 同样等于 T_{i2} - T_{i0}。于是每个单独的三角形 T_i 可以参数化为：
r(u,v) = T_{i0} + uΔ_1 + vΔ_2
r_u = Δ_1 r_v = Δ_2
r_u × r_v = Δ_1 × Δ_2
因此，利用该参数化，并按需代入 F 的定义，曲面积分可改写为：
V = ∑i ∬{T_i} F(x,y,z) · (r_u × r_v) dA = ∑i ∬{T_i} F(x,y,z) · (Δ_{i1} × Δ_{i2}) dA = ∑i ∬{T_i} ⟨x,0,0⟩ · (Δ_{i1} × Δ_{i2}) dA
这个叉积在三角形内是常量，并且很容易由顶点数据计算出来。由于与 F 的零分量做点积，只需要计算叉积的 X 分量；其余分量都等于零。于是 V 可以改写为：
V = ∑i (Δ{i1} × Δ_{i2})x ∬{T_i} x dA
现在关注曲面积分 ∬_{T_i} x dA。用参数化展开得到：
∬_{T_i} x dA = ∫_0^1 ∫0^u x dv du = ∫0^1 ∫0^u (T{i0x} + u Δ{i1x} + v Δ{i2x}) dv du
这个积分可以直接求值，将顶点数据视为常量：
∫0^1 ∫0^{1-u} (T{i0x} + u Δ{i1x} + v Δ_{i2x}) dv du = T_{i0x} ∫0^1 ∫0^{1-u} dv du + Δ{i1x} ∫0^1 ∫0^{1-u} u dv du + Δ{i2x} ∫0^1 ∫0^{1-u} v dv du = T{i0x} (1/2) + Δ{i1x} (1/6) + Δ{i2x} (1/6) = T{i0x} (1/2) + (T_{i1x} - T_{i0x}) (1/6) + (T_{i2x} - T_{i0x}) (1/6) = T_{i0x} (1/6) + T_{i1x} (1/6) + T_{i2x} (1/6) = (1/6) (T_{i0x} + T_{i1x} + T_{i2x})